科学计术的萌芽，起源于人类的生产劳动。距今300多万年前的早期人类已经开始使用天然木头和石块作为工具。工具的使用标志着原始技术的萌芽，也开启了人类社会的历史。在漫长的社会发展中，人类通过生产和生活实践，逐渐提高了认识自然和改造自然的能力，不断取得科学上的进步，并积累了丰富的科学知识。
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一，他的思想不仅影响了柏拉图，而且一直影响到文艺复兴时期的一些哲学家和科学家。
著名的“毕达哥拉斯定理”
毕达哥拉斯生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛。据说毕达哥拉斯早年拜访过泰勒斯，并游历埃及，之后他又游历巴比伦和印度。后来，他在意大利南部的科罗托那建立了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密组织——毕达哥拉斯学派。这个学派的成员遍布希腊各地，后来这个学派在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯逃到意大利东南角的特伦顿，最终被杀害，终年80岁。他死后，他的学派还继续存在了两个世纪之久。
这个学派非常重视数学，企图用数来解释一切。他们宣称，数是宇宙万物的本原，万物即数，研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘。他们对数学看法的一个重大贡献，是有意识地承认并强调数学上的东西，如数和图形，是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。毕达哥拉斯学派将算术和几何紧密联系起来。
毕达哥拉斯学派最大的贡献在数学方面，最著名的就是“毕达哥拉斯定理”，该定理在中国称为勾股定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。关于对毕达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得所著的《几何原本》，该书第一卷中记载：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”。其证明是用面积来进行的。
实际上，毕达哥拉斯学派从事得更多的是数学问题本身的研究。以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为主要研究对象，以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式。而毕达哥拉斯定理的发现，实际上导致了无理数的发现，尽管毕达哥拉斯学派不愿意接受这样的数，并因此形成了数学史上所谓的第一次数学危机，但是毕达哥拉斯学派的探索仍然是功不可没的。
尽管许多古老文明很早就发现了诸如“勾三、股四、弦五”这样的直角三角形的特例。不过毕达哥拉斯定理的证明，还应归功于毕达哥拉斯。传说，他在得出此定理时曾宰杀了100头牛来祭科学女神缪斯，以酬谢神灵的启示。
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而音乐则被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说，如他在同一时间会出现在两个不同的地方，被不同的人看到；还有传说，当他过河时，河神站起身来向他问候：“你好啊，毕达哥拉斯。”
如果有人要想加入毕达哥拉斯学派，就必须接受一段时期的考验，经过挑选后才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的讲授。只有再过若干年后当他们的灵魂因为受音乐的不断熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时，才被允许见到毕达哥拉斯本人。他们认为，经过纯化并进入和谐及数的神秘境界，可以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中得到解脱。
毕达哥拉斯学派在哲学上与印度古代哲学有类似之处。比如，他们都把整数看作是人和物的各种性质的决定因素，整数不仅从量的方面而且在质的方面支配着宇宙万物。他们对数的这种认识和推崇，促使他们热衷于研究和揭示整数的各种复杂性质，以期来左右和改变自己的命运。
他们对整数进行了分类，如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。毕氏信徒们认为，数具有象征性的含义。毕达哥拉斯学派是一个具有神秘色彩的宗教性组织，但是他们对于数学的研究确实作出了重大的贡献。由于华达哥拉斯的讲授都是口头的，按照他们的习惯，对于各种发现或发明都不署个人的姓名，而是都归功于其尊敬的领导者，所以很难辨别他们的研究成果究竟是谁完成的。
毕达哥拉斯学派后来在政治斗争中遭到失败，毕达哥拉斯逃到塔林敦后，最终还是被杀害了。他死后，他的学派的影响仍然很大，又延续了200年之久。
发现地心体系的托勒密
天文学是自然科学中最早独立发展的学科之一，古希腊的天文学也曾取得了很大的成就。从泰勒斯到毕达哥拉斯，再到亚里士多德，再到阿基米德，几乎每一个人在天文学上都有自己的宇宙论。从古希腊开始即有两种学说分歧，一种是主张地球绕着太阳转，一种主张太阳绕着地球转，其中地心说一直占据主导地位，宣扬地心说的最著名人物就是托勒密。
托勒密的《天文学大成》
我们应该对著名天文学家托勒密致以崇高的敬意，因为正是他的那些著作，才使我们对西方古代科学的发展有今天这样的了解。托勒密的主要著作是《大综合论》，这是一部划时代的巨著。不幸的是，原著已不复存在，我们只能从9世纪出版的、改名为《天文学大成》的阿拉伯译文中，找到托勒密的一些论点。全书共13卷，概括地介绍了当时所知道的全部天文学知识。可以毫不夸张地说，它实际上是一部天文学的百科全书。一直到17世纪初的1000多年中，这本书都是天文学家们必读的经典著作。
《天文学大成》中提出了地心说宇宙体系。托勒密的观点主要是地球静止不动居于宇宙的中心。每个行星和月亮都在“本轮”上匀速转动，而本轮中心又在“均轮”上绕地球转动，只有太阳直接在均轮上绕地球转动。地球与各个均轮的圆心有一定距离的偏离。水星和金星的本轮中心始终位于日地连线上，这一连线一年绕地球转一周。火星、木星、土星到它们各自的本轮中心的直线始终与日地连线平行，它们每年绕各自的本轮中心转一周。所有恒星都位于最外的固体球壳“恒星天”之上，并随“恒星天”每天绕地球转一周。日、月、行星也随“恒星天”每天绕地球转一周，于是各种天体每天都要东升西落一次。
经不起检验的地心体系
托勒密适当地选择了各个均轮与本轮的半径的比率、行星在本轮和均轮上的运动速度以及本轮平面与均轮平面的交角来加以证明，使得按照这一体系推算的行星位置与观测相合。在当时观测精度不高的情况下，地心体系大致能解释行星的视运动，并据此编出了行星的星历表。可是，随着观测精度的提高，按照这一体系推算出的行星位置与观测的偏差越来越大。他的后继者不得不进行修补，在本轮上再添加小本轮，以求与观测结果相合。
尽管如此，该体系还是经不起实践检验，因为这一体系没有反映行星运动的本质。在欧洲，教会将托勒密的地心体系作为上帝创造世界的理论支柱，在教会的严密控制下，人们在1000多年中未能挣脱地心体系的桎梏。16世纪中叶，哥白尼提出了日心体系，并为后来越来越多的观测事实所证实，地心体系才逐渐被摒弃。
世界领先的割圆术
中国古代数学在三国、两晋时期侧重于理论研究，其中赵爽与刘徽为数学研究的主要代表人物。刘徽创造了许多数学原理并严加证明，然后应用于各种算法之中，使后人在知其然的同时又知其所以然。
古代数学的代表人物
赵爽是三国时期吴国人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就主要体现在对《周髀算经》的阐释上。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现了“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。
刘徽是三国时期魏国山东人，出生在公元3世纪20年代后期。他在长期精心研究《九章算术》的基础上，采用高理论，精计算，潜心为《九章》撰写注解文字。他的注解内容详细、丰富，并纠正了原书留下来的一些错误，并发表了大量新颖的见解。在求圆面积公式时，在当时计算工具非常简陋的条件下，他开方即达12位有效数字。他在注释《九章》“方程”章节18题时，共用1500余字，反复消元运算达124次，无一差错，答案正确无误，即使作为今天大学代数课答卷亦不逊色。
《九章算术》
《九章算术》是中国古代的第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，该书不仅最早提到分数问题，而且首先记录了盈不足等问题，该书的“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。但是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学的记录，它的出现标志中国古代数学已经形成了完整的体系。
刘徽的割圆术
有了刘徽的注释，《九章算术》才得以成为一部完美的古代数学教科书。在其著作的《九章算术注》中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。用“率”统一证明《九章算术》的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积公式。为了证明圆面积公式和计算圆周率，刘徽创立了割圆术。
有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值。π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。
在刘徽以前，已有许多人计算过π值。最早的π值是3，后来又发展到3.1547或10。但如何求得，从未有人进行科学的阐明。刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”从圆内接正六边形出发，依次计算出圆内接正12边形、正24边形、正48边形，直到圆内接正192边形的面积，然后使用现在所称的“外推法”，得到了圆周率的近似值3.14，这个圆周率数据是当时世界上的最佳数据，纠正了前人“周三径一”的说法。
“外推法”是现代近似计算技术的一个重要方法，但刘徽的研究遥遥领先于西方发现了“外推法”。刘徽的割圆术是求圆周率的正确方法，奠定了中国圆周率计算长期在世界上领先的基础。这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。古希腊数学家阿基米德曾提出圆周长于内接圆内多边形而小于圆外切多边形周长，算出了3.14<；π<；3.16的数值。但阿基米德用的是归谬法，避开了无穷小和极限，而刘徽应用了极限的概念，且只用圆内接正多边形的面积计算，而省去了计算圆外切正多边形的面积，从而取得了事半功倍之效。
在割圆的过程中，要反复用到勾股定理和开平方。为了开平方，刘徽提出了求“微数”的思想，这与现今无理根的十进小数近似值完全相同。求微数保证了计算圆周率的精确性。同时刘徽的“微数”也开创了十进小数的先河。
癌症的发现
癌症是现代医学的一大难题，曾经有人将它看成是“医学的失败”。癌症就是平时所说的恶性肿瘤。人体除了毛发和指甲外，其他任何组织和器官都可能发生癌变。目前世界上每年数以百万计的人死于癌症，令人不寒而栗，甚至谈癌色变，闻癌生畏。
古代对癌症的记载
人类究竟是从什么时候发现癌症的，已很难追溯了。人们只能从古人留下的文字记载中，探索与癌症斗争的历史。
中国古代医学中关于肿瘤的发现和记述不仅最早，而且内容丰富。在殷虚甲骨文中就有“瘤”字出现。两千多年前的《周礼》中记载有关治疗瘤的专科医生，称为“疡医”。受这一影响，日本和朝鲜至今仍将肿瘤学科称为“肿疡学”。此后，从《黄帝内经》到各家论著，许多都有关于肿瘤的记述，内容涉及极为广泛，从对肿瘤的命名到肿瘤的病因，从临床表现到治疗措施，都有明确的记载。
良性肿瘤，中国古代医学多称“瘤”，如血瘤、骨瘤、脂瘤等。恶性肿瘤命名较复杂。古语中的“岩”与“癌”通用，特别是乳房中长出的高低不平、坚硬如石的肿块就被形象地称作“乳岩”，即现在的乳癌，其他还有“肾岩”、“舌菌”、“茧唇”等。
为什么会出现癌肿呢？古老的中医学认为，人体正气不足，阴阳失调，邪气便有机可乘，就可能发生癌肿。至于临床表现的记述，更为形象具体。如“咽喉生肉、层层如叠，渐渐肿起，不疼，多日乃有窍，出臭气，逆废饮食。”显然，这是咽喉部位的恶性肿瘤。
宋代的医学论著中，已开始使用“癌”字，并对癌作了记述。明代医书《医学正传》中已对乳癌作了更具体的描述：“乳癌有核，肿结如鳖，棋子大，不痛不痒，五七日方成疮……如成疮之后，则如岩穴之凹，或如人口有唇……”此种表现和现在的乳癌基本相同。
此外，关于肿瘤的预后、治疗措施的记述也很多。如“喉旁结肿发紫如浮萍，症属喉菌，极难调治”；“初帝且有瘤疾，使医割之”；除手术治疗外，还有用中医辩证施治等方法。